DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA.

Variables Aleatorias Continuas y Distribuciones de Probabilidad.

No todas las variables aleatorias son discretas, este capítulo tratará sobre el segundo tipo general de variables aleatorias, llamadas variables aleatorias continuas.

Se dice que una variable aleatoria, por ejemplo X, es continua si los conjuntos de valores posibles es un intervalo completo de números, es decir, si para alguna Ax esté contenido en el intervalo A y B.

Función de Densidad de Probabilidad.

También llamada: Distribución de Probabilidad, sea X una variable aleatoria continua , entonces una función de densidad de probabilidad de X es una función f(x) tal que para dos números cualesquiera a y b.



La probabilidad de que X tome un valor en el intervalo [a, b] es el área arriba de este intervalo y bajo la gráfica de una función de densidad. La curva f(x) se llama curva de densidad.



Para que f(x) sea una función de densidad de probabilidad, se deben satisfacer las siguientes condiciones:


1. f(x)>0,...para todo x.

2. Proposición: Si X es una variable aleatoria continua, entonces para cualquier valor de c, P( X = c) = 0. En definitiva, la probabilidad asignada a algún valor en particular es cero, mientras que la probabilidad de un intervalo no depende de si está incluido en cualquiera de sus puntos terminales.

Función de Distribución Acumulada.

La función de distribución acumulada, F(x), para una variable aleatoria continua X, está definida para todo número x mediante:

Para cada x, F(x) es el área bajo la curva de densidad a la izquierda de x. F(x) se incrementará de manera uniforme cuando aumenta x.

La función de distribución acumulada es muy útil para calcular probabilidades: Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad f(x) y función de distribución acumulada F(x). Entonces, para cualquier número a, la probabilidad es:

P(X > a) = 1 - F(a)

Y para dos números cualesquiera a y b, con b > a, la probabilidad es:

P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)


Relación entre la Función de Probabilidad de Densidad y la Función de Distribución Acumulada.
Si X es una variable aleatoria continua con función de distribución de probabilidad f(x) y función de distribución acumulada F(x), entonces:

F'(x) = f(x),......t ∈ (-∞, x)

Esperanza de una Variable Aleatoria Continua.

La esperanza, promedio, valor esperado o media de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x) es:

A veces, se desea calcular la esperanza de alguna función h(X) de la variable aleatoria X, si se considera h(X) como una nueva variable aleatoriaY, su esperanza es:

Siempre qué

Sea finita.

Varianza de una Variable Aleatoria Continua.

La varianza de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x) es:

La raíz cuadrada positiva, σ, de la varianza de X, se denomina: desviación típica de X.

Proposiciones de Esperanza y Varianza de una Variable Aleatoria Continua.

Sea X una variable aleatoria continua y sean a y b dos números reales cualesquiera, se verifica que:

1. E(a·X + b) = a·E(X) + b

2. Var(a·X + b) = a²·Var(X)

3. Var(X) = E(X²) - [E(X)]²