VALOR ESPERADO Y VARIANZA

VALOR ESPERADO Y VARIANZA

Valor esperado


El valor esperado es un concepto fundamental en el estudio de las distribuciones de probabilidad. Desde hace muchos años este concepto ha sido Aplicado ampliamente en el negocio de seguros y en los últimos veinte años ha Sido aplicado por otros profesionales que casi siempre toman decisiones en
Condiciones de incertidumbre.
Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, multiplicamos
Cada valor que ésta puede asumir por la probabilidad de ocurrencia de ese
Valor y luego sumamos los productos. Es un promedio ponderado de los
Resultados que se esperan en el futuro.

Sea X una Variable Aleatoria que toma valores en un conjunto discreto (en un
conjunto finito de números en uno infinito como: los naturales, los enteros o los
racionales), por ejemplo si la variable aleatoria X toma los siguientes valores:

X = 0, 1, 2, 3, … decimos que es discreta

La probabilidad de que X tome cada uno de sus valores viene dada por la función
de probabilidad:

P(X = i ), para i = 0, 1, 2, 3, ... ;

Sea P(X = i ) = pi para i = 0, 1, 2, 3, ... Se tiene que p1 + p2 + p3 +...+ pn +... = 1

Se define el Valor Esperado de una Variable Aleatoria con distribución discreta

como:

µ = E(X) = ∑xf (x)

Y para una variable aleatoria con distribución continua como


−∞
µ = E(X) = ∫ xf (x)dx
∞

Varianza

Se podría usar un argumento parecido para justificar las fórmulas para la varianza
de la población 2 σ y la desviación estándar de la población σ . Estas medidas
numéricas describen la dispersión o variabilidad de la variable aleatoria mediante
el “promedio” o “valor esperado” de las desviaciones cuadráticas de los valores de
x a partir de su media µ .

Sea x variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad f(x) y media µ .

La varianza de x es: La varianza de x es: σ2 = E[( - X µ) ] =∑(x - µ)2 f (x)

Sea x variable aleatoria continua con distribución de probabilidad f(x) y media µ .
∞
La varianza de x es : σ2 = E[( X -µ)2 ] = ∫ (x- µ)2 f x dx

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA.

Variables Aleatorias Continuas y Distribuciones de Probabilidad.

No todas las variables aleatorias son discretas, este capítulo tratará sobre el segundo tipo general de variables aleatorias, llamadas variables aleatorias continuas.

Se dice que una variable aleatoria, por ejemplo X, es continua si los conjuntos de valores posibles es un intervalo completo de números, es decir, si para alguna Ax esté contenido en el intervalo A y B.

Función de Densidad de Probabilidad.

También llamada: Distribución de Probabilidad, sea X una variable aleatoria continua , entonces una función de densidad de probabilidad de X es una función f(x) tal que para dos números cualesquiera a y b.



La probabilidad de que X tome un valor en el intervalo [a, b] es el área arriba de este intervalo y bajo la gráfica de una función de densidad. La curva f(x) se llama curva de densidad.



Para que f(x) sea una función de densidad de probabilidad, se deben satisfacer las siguientes condiciones:


1. f(x)>0,...para todo x.

2. Proposición: Si X es una variable aleatoria continua, entonces para cualquier valor de c, P( X = c) = 0. En definitiva, la probabilidad asignada a algún valor en particular es cero, mientras que la probabilidad de un intervalo no depende de si está incluido en cualquiera de sus puntos terminales.

Función de Distribución Acumulada.

La función de distribución acumulada, F(x), para una variable aleatoria continua X, está definida para todo número x mediante:

Para cada x, F(x) es el área bajo la curva de densidad a la izquierda de x. F(x) se incrementará de manera uniforme cuando aumenta x.

La función de distribución acumulada es muy útil para calcular probabilidades: Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad f(x) y función de distribución acumulada F(x). Entonces, para cualquier número a, la probabilidad es:

P(X > a) = 1 - F(a)

Y para dos números cualesquiera a y b, con b > a, la probabilidad es:

P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)


Relación entre la Función de Probabilidad de Densidad y la Función de Distribución Acumulada.
Si X es una variable aleatoria continua con función de distribución de probabilidad f(x) y función de distribución acumulada F(x), entonces:

F'(x) = f(x),......t ∈ (-∞, x)

Esperanza de una Variable Aleatoria Continua.

La esperanza, promedio, valor esperado o media de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x) es:

A veces, se desea calcular la esperanza de alguna función h(X) de la variable aleatoria X, si se considera h(X) como una nueva variable aleatoriaY, su esperanza es:

Siempre qué

Sea finita.

Varianza de una Variable Aleatoria Continua.

La varianza de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x) es:

La raíz cuadrada positiva, σ, de la varianza de X, se denomina: desviación típica de X.

Proposiciones de Esperanza y Varianza de una Variable Aleatoria Continua.

Sea X una variable aleatoria continua y sean a y b dos números reales cualesquiera, se verifica que:

1. E(a·X + b) = a·E(X) + b

2. Var(a·X + b) = a²·Var(X)

3. Var(X) = E(X²) - [E(X)]²

TIPOS DE PROBABILIDADES

Probabilidad clásica, empírica y subjetiva.

PROBABILIDAD A PRIORI: AQUÍ LA PROBABILIDAD DE ÉXITO SE BASA EN EL CONOCIMIENTO ANTERIOR AL PROCESO INVOLUCRADO.

EN EL CASO MAS SIMPLE, CUANDO CADA RESULTADO ES IGUALMENTE POSIBLE.

PROBABILIDAD CLÁSICA EMPÍRICA: AUNQUE LA PROBABILIDAD SE SIGA DEFINIENDO COMO LA PROPORCIÓN ENTRE EL NUMERO DE RESULTADOS FAVORABLES Y EL NUMERO DE RESULTADOS, ESTOS DATOS SE BASAN EN ECHOS OBSERVADOS NO EN EL CONOCIMIENTO ANTERIOR A UN PROCESO.

PROBABILIDAD SUBJETIVA:MIENTRAS QUE EN LOS DOS ANTERIORES ENFOQUES LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO FAVORABLE SE CALCULA OBJETIVAMENTE, YA FUERA DE UN CONOCIMIENTO PREVIO O DE DATOS REALES Y LA PROBABILIDAD SUBJETIVA SE REFIERE A LA POSIBILIDAD DE OCURRENCIA ASIGNADA A UN EVENTO POR UN INDIVIDUO PARTICULAR. 

Concepto clásico de Probabilidad

Una de las características de un experimento aleatorio es que no se sabe qué resultado particular se obtendrá al realizarlo. Es decir, si A es un suceso asociado con un experimento aleatorio, no podemos indicar con certeza si A ocurrirá o no en una prueba en particular. Por lo tanto, puede ser importante tratar de asociar un número al suceso A que mida la probabilidad de que el suceso ocurra. Este número es el que llamaremos P(A).

Probabilidad Clásica o a Priori

Si un suceso puede ocurrir de N maneras mutuamente excluyentes e igualmente probables, y m de ellas poseen una característica A

Ejemplo 1: P(de que salgan dos caras al tirar 2 monedas)

P(de que salga una cara al tirar 2 monedas )

Ejemplo 2: P(de que salga un varón al tomar 2 bebés y observar su sexo)

Probabilidad empírica o frecuencial

Una teoría de mayor aplicación y muy sostenida es la basada en la frecuencia relativa. Puede atribuirse a este punto de vista el adelanto registrado en la aplicación de la probabilidad en la Física, la Astronomía, la Biología, las Ciencias Sociales y los negocios.

Esta teoría está estrechamente relacionada con el punto de vista expresado por Aristóteles: “lo probable es aquello que ocurre diariamente”.

Notamos a través de gran cantidad de observaciones acumuladas con los diversos juegos de azar una forma general de regularidad que permitió establecer una teoría. 

Supongamos que efectuamos una serie de n repeticiones del experimento E, intentando mantener constantes las condiciones pertinentes. Sea f el número de repeticiones en las que se presenta el suceso A, de forma que en las restantes n – f no se presentará. Obtendremos así una serie de frecuencias relativas para n1, n2 ….

.

Estas frecuencias relativas diferirán poco entre sí cuando las ni sean grandes y tenderán a acumularse en la proximidad de un valor fijo. 

Debemos señalar que la estabilidad, a la larga, de las frecuencias relativas se aplica a una amplia clase de experimentos aleatorios, de los que el juego de azar constituye un caso en particular, casi insignificante. 

Para establecer una descripción matemática sencilla de la conducta de las frecuencias relativas para grandes valores de n, vamos a postular la existencia de un nro. p que es el nro. al cuál tiende fr, es decir, la frecuencia relativa del suceso en estudio. 

Este número se llamará probabilidad del suceso A en relación con el experimento aleatorio E. 

La frecuencia relativa fr se considerará entonces como una medida experimental de la probabilidad y diremos: 

“De acuerdo con el concepto empírico de la estabilidad de las razones frecuenciales cabe esperar que, para grandes valores de n, la razón frecuencial observada sea aproximadamente igual a p que se llamará probabilidad del suceso en estudio”. 

Estaremos entonces “estimando” el valor de una probabilidad desconocida por medio de un estudio de la conducta de las frecuencias relativas del hecho o suceso correspondiente. 

La aplicación de esta definición está relacionada con un experimento aleatorio que puede ser repetido varias veces en condiciones uniformes. Naturalmente, la repetición real será en ocasiones difícil o incluso imposible de realizar, por ejemplo, debido a los costos prohibitivos de experimentación, pero bastará con que sea concebible una repetición en condiciones uniformes. 

Pensaste cuando tirás muchas, muchas veces una moneda ¿cúal es la probabilidad de que salga cara? 

¿Aplicaste esta definición? ¿Por qué?. Discutilo en grupos y analizá la explicación con tu profesora. 

Probabilidad subjetiva

Se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un suceso basado en la experiencia previa, la opinión personal o la intuición del individuo. En este caso después de estudiar la información disponible, se asigna un valor de probabilidad a los sucesos basado en el grado de creencia de que el suceso pueda ocurrir.

¿ Cuál es la probabilidad de que haya vida en Marte?

¡Analiza esta probabilidad!

Estos ejemplos ¿ a qué definición de probabilidad corresponden? 

Ejemplo 1 

E: Tirar un dado 

A = que salga el n° 3 

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 

P(A) = 1/6 

Ejemplo 2 

E: Retirar una carta de un mazo

A= que salga oro

P(A) = 10/40

TIPOS DE EVENTOS

eventos mutuamente excluyentes y eventos no excluyentes

Los eventos son mutuamente excluyentes si sólo uno de ellos puede ocurrir cuando realizamos una prueba”. Pero cuando pueden ocurrir dos o más eventos al realizar una prueba cabe decir que son eventos no excluyentes. Pensemos en el ejemplo de la baraja inglesa y en los siguientes eventos:

Eventos no excluyentes 

Sacar un 5 y una carta de espadas. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar un 5 de espadas. 

Sacar una carta roja y una carta de corazones. Son eventos no excluyentes pues las cartas de corazones son uno de los palos rojos. 

Sacar un 9 y una carta negra. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar el 9 de espadas o el 9 de tréboles. 

Para los tres ejemplos es posible encontrar por lo menos una carta que hace posible que los dos eventos ocurran a la vez.

Eventos mutuamente excluyentes 

Sacar una carta de corazones y una carta de espadas. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son de corazones o son de espadas. 

Sacar una carta numerada y una carta de letras. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son numeradas o son cartas con letra. 

Sacar una carta de tréboles roja. Son eventos mutuamente excluyentes pues las cartas de tréboles son exclusivamente negras. 

No es posible encontrar una sola carta que haga posible que los eventos sucedan a la vez.

Eventos Independientes y Dependientes



Eventos Independientes


Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Ejemplo:

lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.


Eventos dependientes

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)

INTRODUCCION A LA ESTADISTICA II

Conceptos Básicos:

Estadística:

La estadística es comúnmente considerada como una colección de hechos numéricos expresados en términos de una relación sumisa, y que han sido recopilado a partir de otros datos numéricos.

Kendall y Buckland (citados por Gini V. Glas / Julian C. Stanley, 1980) definen la estadística como un valor resumido, calculado, como base en una muestra de observaciones que generalmente, aunque no por necesidad, se considera como una estimación de parámetro de determinada población; es decir, una función de valores de muestra.

"La estadística es una técnica especial apta para el estudio cuantitativo de los fenómenos de masa o colectivo, cuya mediación requiere una masa de observaciones de otros fenómenos más simples llamados individuales o particulares". (Gini, 1953.

Murria R. Spiegel, (1991) dice: "La estadística estudia los métodos científicos para recoger, organizar, resumir y analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables basadas en tal análisis.

"La estadística es la ciencia que trata de la recolección, clasificación y presentación de los hechos sujetos a una apreciación numérica como base a la explicación, descripción y comparación de los fenómenos". (Yale y Kendal, 1954).

Cualquiera sea el punto de vista, lo fundamental es la importancia científica que tiene la estadística, debido al gran campo de aplicación que posee.

probabilidad

Con origen en el latín probabilĭtas, probabilidad es una palabra que permite resaltar la característica de probable (es decir, de que algo pueda ocurrir o resultar verosímil). Se encarga de evaluar y permitir la medición de la frecuencia con la que es posible obtener un cierto resultado en el marco de un procedimiento de carácter aleatorio.
La probabilidad, por lo tanto, puede definirse como la razón entre la cantidad de casos prósperos y la cantidad de cuestiones posibles. La matemática, la física y la estadística son algunas de las áreas que permiten arribar a conclusiones respecto a la probabilidad de eventos potenciales.

El hombre siempre tuvo interés en cuantificar la probabilidad ya que dicha cuantificación contribuye a predecir acontecimientos a corto o largo plazo. Por ejemplo: si todos los días martes, desde hace tres meses, se corta la luz, existirá una gran probabilidad (aunque no por esto una certeza) de que el próximo martes también se produzca el corte.
Cabe resaltar también que se conoce como teoría de la probabilidad a aquella que enmarca a los fenómenos aleatorios (es decir, que no ofrecen un resultado único o previsible bajo condiciones determinadas). El lanzamiento de un dado es un fenómeno aleatorio, ya que puede arrojar diferentes resultados más allá de que se realice en las mismas condiciones.
En los juegos de azar, justamente, siempre existió un gran interés por conocer con precisión las condiciones de probabilidad. Al saber que hay mayores posibilidades de que salga X número o carta, se amplían las chances de ganar en las apuestas.
La teoría de la probabilidad se aplica en diversos ámbitos. Los bienes de consumo ofrecen un certificado de garantía de acuerdo a las probabilidades de avería o fallo. Si los estudios y experimentos reflejan que resulta poco probable que el producto se dañe los primeros meses de uso, las empresas ofrecerán una cobertura por dicho periodo.